¿Qué hay más: números pares o números racionales?

¿Cómo podemos contar conjuntos de cosas?

Esta pregunta se la ha hecho el ser humano desde el principio de los tiempos, ya sea para saber si se les ha perdido una oveja o para ver si en su tribu hay más individuos que en la del enemigo, y así tener más posibilidades de ganar. Antes de tener la noción de número tal cual ¿cómo lo hacían? Pues de una manera muy parecida a como contamos con los dedos.

Esta manera se llama: aplicación (no, no las informáticas). Una aplicación se define nada más y nada menos que como una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de manera que a cada elemento de un conjunto inicial (o dominio) le corresponde sólo uno del conjunto final (o conjunto imagen). Quizás se vea mejor con una imagen:

La aplicación de la imagen por ejemplo: el dominio aquí son los polígonos que veis, y el conjunto imagen, los números del 1 al 8. La aplicación hace corresponder a cada polígono con el número de lados que tiene y esta bien definida porque a cada polígono le corresponde un solo número. Pero seguro que os ha llamado la atención un par de cosas en la imagen…

1. Hay dos flechas que llegan al número 3…¿qué significa? Cuando esto ocurre se dice que la aplicación no es inyectiva. Dicho de otro modo, una aplicación es inyectiva cuando si dos imágenes de dos elementos son iguales, entonces los elementos son iguales. Quizás en símbolos matemáticos quede más claro. La aplicación la denotaremos por f, así f(x) significará la imagen del elemento x por la aplicación f (por ejemplo, f (triángulo rojo)=3). Entonces una aplicación es inyectiva si se da:

si f(x)=f(y) x=y, donde x pertenece al dominio, y pertenece al conjunto imagen

Por esto como f(triangulo rojo) = f(triangulo azul) = 3 pero                                      triangulo rojo triangulo azul f no es inyectiva.

2.  ¿Qué pasa con el 1, el 2, el 6 o el 8? En este caso no hay ningún elemento en el dominio cuya imagen sea alguno de estos números… es decir, la aplicación no es sobreyectiva, o suprayectiva. Así, una aplicación se dice que es suprayectiva o sobreyectiva si para todo (simbolizado matemáticamente con el símbolo ) elemento y del conjunto imagen, existe al menos un (denotado por el símbolo elemento x en el dominio, tal que f(x)=y. A groso modo, es como decir «que no sobra nada» en el segundo conjunto.

¿Y si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva? Entonces estamos ante una aplicación biyectiva. ¿Y qué tiene de especial esto? Principalmente dos cosas: entonces tendrá inversa (simplemente seguimos el camino hacia atrás, que se puede, ya que si fallara la inyectividad, tendríamos dos caminos, y si fallara la sobreyectividad puede que ni haya camino), y:

Si existe una aplicación biyectiva entre dos conjuntos entonces tienen el mismo cardinal.

[En esta entrada ya hablamos de lo que era el cardinal de un conjunto, «cuántos» elementos tiene.]

Pensad que esto tiene sentido…¿cómo contamos con los dedos? En realidad estamos realizando una biyección entre los dedos de la mano y los elementos del conjunto que contamos. Una vez introducidos estos conceptos podemos meternos donde hay miga… en el infinito.

Antes que nada quiero dejar claro que el infinito no es un número. Es un concepto, significa que siempre puedes encontrar más elementos. Entonces, ¿cuántos números naturales hay, por ejemplo? Fácil, (se pronuncia «alef sub cero»). ¿Y cuál es este número? Pues el cardinal de los números naturales. Es algo «similar» a cuando definimos . ¿Qué número es ? Pues . Sí, 3.141592… pero nos es imposible poner su valor exacto. El valor exacto de  es . Así, por definición, un conjunto se dice numerable si su cardinal es (es trivial que los números naturales son numerables). ¿Pero y los números enteros?

A simple vista uno diría «vale, los números naturales son los positivos y los enteros los positivos y negativos… luego hay más enteros que naturales». ¿Sí? Considerad la siguiente aplicación:

Es decir, si ordenamos los naturales, entonces le asignamos a cada natural el entero que le toque alternando. De una manera más formal esto significa que a cada par natural, le corresponde él mismo cambiado de signo y dividido entre dos, y cada impar natural le corresponde él mismo + 1, dividido entre 2 (comprobadlo). No es difícil ver que esto es una biyección, porque cada entero sólo viene de un natural y no sobran enteros (no os preocupéis por el cero, sería solo una pequeña modificación pero si os quedáis con la duda decídmelo: scirescience@gmail.com o @TovRodero). ¿Y que pasaba cuando dos conjuntos eran biyectivos? ¡Bingo! Que tenían el mismo cardinal. A grosso modo, hay la misma «cantidad» de enteros que de naturales.

Pero esto no acaba aquí. Si empezáis a estirar del hilo, os daréis cuenta de que podéis definir la aplicación de los naturales en los pares que a cada número le corresponde el mismo multiplicado por 2. O de los naturales en los impares, de manera que a cada natural le corresponde él mismo multiplicado por dos, menos 1. Y ambas aplicaciones son de nuevo biyectivas, es decir, ¡hay la misma «cantidad» de enteros, que de naturales, que de impares, que de pares!

¡Tranquilos, que no os explote la cabeza!

Otra manera de ver que un conjunto es numerable es cuando lo puedes «etiquetar» con los números naturales, cuando los puedes ordenar e irlos contando de 1 en 1. ¿Os acordáis de los números racionales? Imaginad que los vamos poniendo en filas, de manera que en la primera fila están los que tienen numerador 1, en la 2ª numerdor 2, en la tercera numerador 3… y dentro de cada fila los ordenamos según el denominador. ¿Y si ahora recorriésemos TODOS los racionales, etiquetándolos, estáis de acuerdo conmigo en que entonces los racionales también tienen el mismo cardinal que los naturales? Pues agarraos…

Siguiendo las flechas podemos etiquetar a cada número racional con un número natural… Boom!

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