El intervalo [0,1] es gordo. Muy gordo.

[Es recomendable que si no la has leído ya, leas esta entrada antes: ¿qué hay más: números pares o números racionales?]

Básicamente, en la entrada anterior mencionaba tres puntos:

  • Para saber si dos conjuntos tienen el mismo “tamaño” o cardinal, había que encontrar una biyección entre ellos, una correspondencia que uniera los elementos de cada conjunto de manera que no sobraran elementos en ninguno de los dos conjuntos.
  • El infinito más “pequeño” es el de los números naturales, y su cardinal se representa por \aleph_0 (“alef sub cero”).
  • Si un conjunto tiene el mismo cardinal que los naturales se dice que es numerable. Los naturales, los enteros y los racionales son conjuntos numerables.
Captura de pantalla 2014-05-11 15.46.50

Parece que en los cines de Futurama hay muchas películas…

La siguiente pregunta surge casi instantáneamente… ¿Hay infinitos más grandes? ¿Cuál es el siguiente infinito más grande después del numerable?

Para responder a estas preguntas empezaremos “midiendo” el intervalo [0,1].

En los números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos entre lo que se llama los dos extremos del intervalo, en este caso el 0 y el 1. ¿Podemos establecer una biyección entre los números reales y los naturales? ¿Podemos “etiquetarlos”? NO. Y te demostraré por qué:

Si el intervalo fuera numerable, podríamos “etiquetar” todos los números y luego asignarle un número natural a cada etiqueta. Pues hagámoslo. Ahora bien, cualquier número del intervalo (0,1) (sin contar el 0 y el 1) es de la forma de un cero, la coma decimal, y una serie de decimales después. Por ejemplo, 0.1243543334.. ó 0.8989898982… Cualquiera. Para hacerlo más general, vamos a llamar a cada decimal con la letra “a”. Los pondremos en filas, si está en la primera fila, el decimal “a” llevará un subíndice 1, a_1, si está en la segunda fila un 2, a_2, etc. Dentro de cada número, si el decimal está en la primera fila y es el tercer decimal lo pondremos como a_{1\,3}, es decir, el primer subíndice indicará la fila y el segundo subíndice indicará la columna. De manera que podríamos etiquetar todos los números tal que así:

CodeCogsEqn

El primer numerito indica la fila en la que está, el segundo la columna.

Vale, etiquetados. Si están todos de lujo, ya los tenemos etiquetados y sería encontrar la manera de asignar a cada etiqueta un número natural.

¿Están todos?

Fijaos en la siguiente imagen:

CodeCogsEqn2

Y ahora en el siguiente número:

pngEs decir, hemos cogido los decimales de la diagonal y hemos formado un número con esos decimales, pero añadiéndole 1. Si a_{11} era un 2, ahora es un 3; si a_{33} era un 7 ahora es un 8, y, por convenio, si alguno era un 9 ahora sera un 0. ¿Este número estaba en la lista de antes? A ver, el primero no es, puesto que la primera cifra es distinta (antes era a_{11} y ahora es a_{11}+1). Por la misma razón, tampoco va a ser el segundo, porque la segunda cifra decimal es distinta. Ni el tercero…ni el cuarto… ni el nº 400 puesto que la cifra decimal número 400 es distinta… Es decir, este número no estaba en la lista.

 ¡¿Pero no estaban todos?! Eso habíamos supuesto al crear la lista etiquetando cada número y hemos llegado a una contradicción, a que hay uno que no está, hemos llegado a lo que se llama un absurdo. Este tipo de demostraciones, el de reducción al absurdo es uno de las más utilizados en matemáticas junto con la de inducción. ¿Y qué significa todo esto? Pues que de lo que partíamos (que se pueden etiquetar los números del 0 al 1) no puede ser. Luego ¡el intervalo [0,1] no es numerable!

A este cardinal, el llamado cardinal de los reales se le denota por \aleph_1.

¿Hay infinitos más grandes que el \aleph_0 pero más pequeño que el \aleph_1?

Georg Cantor creyó toda su vida que no, e intentó infructuosamente demostrarlo. Y era normal que no lo demostrara. Años más tarde, Kurt Gödel y Paul Cohen demostrarían que es de hecho independiente de los axiomas tomados tradicionalmente en teoría de conjuntos, los llamados axiomas de Zermelo-Fraenkel. Es decir, que partiendo de los supuestos de toda la vida es imposible llegar a demostrar ni que es falso ni que es verdadero. Entonces, ¿qué? Lo que quieras. Si asumes que es verdadero bien, llegarás a unos resultados y si asumes que es falso llegarás a otros. Pero en ninguno de los dos casos entrarás en contradicción.

Y para más inri todavía, si metemos de por medio al axioma de elección (¡prometo hablar de él bien más adelante!) resulta que 2 elevado al cardinal de los naturales, es igual al cardinal de los reales:

CodeCogsEqn4

Así que a partir de ahora cuando te quedes mirando al infinito… especifica a cuál miras 😉

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Acerca de ResisZienzia

Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
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2 respuestas a El intervalo [0,1] es gordo. Muy gordo.

  1. fáv dijo:

    Sigo sin entenderlo. Lo entendí en la carrera, pero ahora he observado que es contradictorio. No puedes poner una lista de números y dejar unos puntos suspensivos. Tendrían que ser números definidos por una fórmula. ¿Cierto? ¿qué número es 0.1243543334…? Que yo sepa esos puntos suspensivos están sin definir. No existe más allá de los puntos. Por otro lado, el problema de la diagonalización de Cantor es que se define un número que ya de entrada está diciendo que no existe. Es decir, si ese número existiera, al pasar la diagonal por él mismo tendría que decir qué dígito tiene exactamente, si 0, 1, 2… etc. no decir “el que tenga más uno” porque no tiene. El problema de la teoría de Cantor, y se discutió años más tarde, es que no pueden definirse objetos que se incluyan a sí mismos. Por ejemplo, la paradoja del libro que se incluye a sí mismo (no sé si sabes cual te digo)

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    • ResisZienzia dijo:

      Lo de los puntos suspensivos sí que creo que pueda darse. Mira por ejemplo a pi, lo puedes definir con series infinitas, y ahí tienes fórmula cerrada pero a la hora de escribirlo tienes los puntos suspensivos. Otra cosa es que sepamos poner cada número con una fórmula, pero no significa que no estén definidos, no sé si me explico.

      Y lo de la diagonalización, ahí reside justamente el absurdo de la demostración, que no puede existir un número así, y como habíamos supuesto que sí y hemos visto que no, la hipótesis debe ser falsa: la de que los decimales se pueden etiquetar (y por tanto el [0,1] es numerable.

      Y sí, conozco la paradoja, pero en este caso concreto no veo a que te refieres…

      Un saludo, y muchas gracias por comentar 🙂

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