Usemos un nuevo juguete: el cero

En una entrada anterior ya hablamos sobre qué era el cero en los naturales, pero ampliemos nuestras fronteras, superemos los naturales y veamos que podemos hacer con el cero en un grupo como los números enteros… espera, ¿qué?

Grupo: Conjunto no vacío (en nuestro caso los enteros, \mathbb{Z}) con una operación binaria interna (la suma) que cumple:

  • Propiedad asociativa: (si a, b, c son tres enteros cualesquiera) se cumple que (a + b) + c = a + (b + c)
  • Existe elemento neutro, tal que al sumar ese elemento a cualquier otro, éste último no cambia.
  • Existe inverso de cada número, tal que al sumarselo obtenemos el elemento neutro (en el caso de los enteros, el inverso de los positivos son los negativos).

Quizás con este último punto entendáis por qué no tiene sentido preguntarse si el cero es negativo o positivo… él es su propio opuesto. De aquí se desprende directamente el por qué al restar cero a un número da el propio número… Cuando ponemos una resta, por ejemplo 17-8, es una abreviación de una suma: 17 + (-8). Así, cualquier número, a, menos el cero: a\ -\ 0\ =\ a\ +\ (\ -\ 0) y como 0 es su propio opuesto…. a\ -\ 0\ =\ a\ +\ (\ -\ 0)\ =\ a\ +\ 0 que por definición de 0 (como es el neutro) es a.  Imagen Vale, la suma y la resta ya están claras…¿pasamos a la multiplicación? Para esto necesitamos definir anillo (no, el de Frodo Bolsón no…): Un anillo es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones (suma y producto en nuestro caso) que cumple:

  • Con la suma es un grupo (¡ue! cumplido).
  • Existe elemento neutro del producto (el 1).
  • Todo elemento distinto del 0 tiene inverso (1 partido por el número).
  • Se cumple la propiedad distributiva a\ \cdot\ (b+c)\ =\ a\cdot b\ +\ a\cdot c.

Con esto claro, vemos que pasa cuando multiplicamos por 0: a\ \cdot\ 0\ =\ a \cdot\ (b\ -\ b)\ =\ ab\ -\ ab\ =\ 0   Donde la primera igualdad es por la definición de neutro (b es un número cualquiera), la segunda es la propiedad distributiva, y la tercera es por la definición de opuesto. ¡Todo tiene sentido! Al 0 con el producto, puesto que todo lo absorbe y lo convierte en 0, también se le llama elemento absorbente

Redonda como el 0, absorbente como el 0...

Redonda como el cero, absorbente como el cero…

¿Y habéis oído hablar del factorial? Quienes hayan trabajado con la combinatoria o la estadística alguna vez seguro que se lo han encontrado: el el simbolito de ! que hay en la calculadora, y se define el factorial de un número como el producto de todos los números naturales menores que él…ya la hemos ‘liao’. ¿Qué pasa con el factorial de 0, 0!?

Tal y como lo hemos definido,

5!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\ =\ 24

4!= 3\cdot 2\cdot 1\ =\ \frac{5!}{4}\ =\ 6

3!=2\cdot 1\ =\ \frac{4!}{3}\ =\ 2

2!=1\ =\ \frac{3!}{2}\ =\ 1

Con lo cual…

1!=\ \frac{2!}{1}\ =\ \frac{1}{1}=1

0!=\ \frac{1!}{1}\ =\ \frac{1}{1}=1

¡Bingo! He ahí la respuesta.

Pero queda la más problemática…la división.

divide3

Pero no seré yo quien os explique el por qué ni siquiera tiene sentido dividir por 0 (recordad que el inverso se definía para todos menos para el cero). Serán Matt Parker y James Grime en Numberphile:

 

 

 

 

 

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid

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Acerca de ResisZienzia

Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
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