¿Qué narices es el cero?

Cero, cero patatero, rosco, zero, zip, zilch, zilcho; una alegría cuando se trata de un impuesto a pagar, un chasco cuando se trata de una nota, pero….  ¿qué es el cero? Para esto necesitamos echar la vista un poquito atrás…

Babilonios. El sistema de numeración babilónica apareció aproximadamente en el 1800-1900  a. C. En éste, cuando querían escribir números como 206 dejaban un hueco en medio, algo así como “2\ \ 6“, pero claro, os podéis imaginar el problema con números como el 150… Tenían una idea, sabían que “algo” había ahí para distinguir dos unidades, a dos decenas de unidades, pero no tenían el concepto de cero de por sí.

Peano. Giuseppe Peano, matemático conocido entre otras cosas por sus axiomas, estableció en éstos la base para la inducción matemática (de la que ya os hablamos en otra entrada) y su primer axioma era que el 1 era el primer número natural, y que éste no es el sucesor de ninguno. Teniendo en cuenta que los números naturales surgieron por la necesidad de contar cosas es comprensible que no tuviera en cuenta al pobre cero, ya que si no tienes nada que contar… ¿para qué contar?

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Giuseppe Peano, en un principio no consideró el cero como número natural…pero, ¿y la cara de majo que tenía?

Cantor. Siglo XIX, aparece en escena Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, “Cantor” para los amigos. En sus tratados sobre conjuntos se dio cuenta de que necesitaba el cero. ¿Por qué? Por un argumento muy común en las matemáticas… por definición. De manera intuitiva sabemos lo que son los conjuntos (simbolizados entre llaves “{ }”)…. conjuntos de cosas. Una agrupación de elementos en un todo (que esto no es un conjunto) de elementos diferenciables entre sí, elementos, que a su vez se definen como los componentes de un conjunto, por lo que a veces todo esto se toma como axiomas… pero los números naturales (simbolizados por la letra \mathbb{N}) hay que definirlos bien. Antes hay que especificar un conjunto especial: el conjunto vacío, el conjunto que no tiene elementos (aún así es conjunto), cuyo símbolo es \emptyset. Sabiendo esto, Cantor definió a los números naturales de la siguiente manera,a pesar de que hay definiciones alternativas (si no entendéis el primero seguid leyendo a ver si lo cogéis…):

0\ =\ \emptyset

1\ =\ \{\emptyset\}\ =\ \{0\}

2\ =\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\}\}\ =\ \{0,\ 1\}

3\ =\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\}\}\}\ =\ \{0,\ 1,\ 2\}

4\ =\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\}\},\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\emptyset,\ \{\emptyset\}\}\}\}\ =\ \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}

\vdots

n+1\ =\ \{1,\ 2,\ \ldots n\}

Dicho de una manera menos simbólica, el 3 es la cantidad de números naturales menores que el tres, 2 es el cardinal (el número de elementos) del conjunto formado por los números anteriores… y así el 0 es el cardinal del conjunto vacío.

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Georg Cantor, la que lió con la Teoría de Conjuntos…

Pero claro, ahora viene el lenguaje. Si tomamos el cero como el primer número, el uno sería el segundo, el dos el tercero, el tres el cuarto… meh, no queda del todo bien. Hablando del lenguaje, como curiosidad, debido a que en textos matemáticos se puede confundir la letra “o” con el número “0” (especialmente desde la era informática) se ha optado por dos opciones: o dejar la letra “o” tal cual, y escribir el cero con el símbolo de conjunto vacío (no es del todo descabellado, visto lo visto) o dejar el cero tal cual y ponerle tilde a la o, “ó”, cuestión de gustos.

Y no podía acabar sin la típica pregunta que se le hace al profesor de matemáticas, al que te cuenta algo así, por el que te acabas de tragar una entrada entera…¿y todo esto para qué? Todas las matemáticas (al menos las usuales… de eso ya hablaremos) se basan en la lógica y la teoría de conjuntos. Como lógica tenemos la inducción (¡Oh, Peano!) y como teoría de conjuntos lo que acabamos de decir (¡Oh, Cantor!), y si no sabemos ni por donde empezar…vamos mal. Aun así, no acaba de haber consenso, porque al fin y al cabo siempre se pueden remodelar las definiciones para que todo acabe cuadrando, y depende de lo que le convenga al matemático tomará al cero como numero natural o no, así si de normal tomas los naturales sin el cero y en esa ocasión coges el cero, se denota por \mathbb{N}_0 y si de normal los tomas con el cero y en esa ocasión no, se denota por \mathbb{N}-\{0\} o por \mathbb{N}^{\ast}. Para acabar os dejo una cita de nuestro profesor de álgebra cuando le preguntamos por qué consideraba al cero como número natural, Francisco Pérez Monasor :

Porque me da la gana.

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Me conformo con no sacarlo en el examen de álgebra…

 

 

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid

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4 respuestas a ¿Qué narices es el cero?

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