Logaritmos aprendidos sin haber sido enseñados

Hablemos de logaritmos. Esta operación matemática se define como la recíproca de la exponencial (así como la división es de la multiplicación o de la suma es la resta). Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3 (), porque 1000 es igual a 10 al cubo: 1000 = 10³ = 10×10×10. Los que hayan tratado con ellos estarán de acuerdo conmigo en que cuando se enseñan por primera vez (en la ESO normalmente) a más de uno le acarrean dolores de cabeza y confusiones. ¿Por qué tenemos que aprender logaritmos?

No me voy a meter en el eterno debate de qué es cultura y por qué es mejor saber ciertas cosas, pero si que pondré algunos ejemplos.

1. El  pH, una medida de la acidez de las sustancias que se basa en medir la concentración de ciertos iones. Gracias a esto, entre otras muchas cosas podemos saber cuándo es apto pegarse un chapuzón en una piscina o cuándo tomar un medicamento sin que nos produzca ardor de estómago. Y este pH se define como el logaritmo de la concentración de iones hidronio cambiado de signo.
2. La intensidad sonora en decibelios, que corresponde a 10 veces el logaritmo del cociente de la intensidad sonora entre una intensidad de referencia. Especialmente útil para comprobar la capacidad de insonorizar de ciertos materiales.
3. El brillo superficial, concepto utilizado en astronomía para describir el brillo aparente de objetos astronómicos como galaxias y nebulosas. De nuevo, matemáticamente se define por medio de logaritmos.
4. Escalas sismológicas como la famosa escala Richter, utilizada para cuantificar la energía liberada por un terremoto y que no es lineal, sino logarítmica. Es decir, un terremoto de intensidad 4 es 10 veces más intenso que uno de intensidad 3.

Aún así estoy muy seguro de que mucha gente piensa que esto es algo «muy forzado», algo «que no va con ellos». ¿Tan seguros estáis?

Cuando los niños «olvidan» los logaritmos

En 2004, los psicólogos Robert S. Siegler y Julie L. Booth de la Carnegie Mellon University realizaron un experimento con tres grupos de niños: uno de parvulario (edad media 5,8 años), otro de primero de primaria (6,9 años) y otro de segundo de primaria (7,8 años). Se les pidió que situaran sobre una recta los números comprendidos entre el 1 y el 100. En la figura (la podéis encontrar en el propio estudio) se representa en el eje horizontal los números a situar y en el vertical, la posición donde los situaron. Como se puede comprobar los niños de parvulario tendían a colocarlos de forma logarítmica, que se iba modificando hasta llegar a una lineal (los números distribuidos a distancias iguales) en segundo de primaria.

Pero éste no fue el último experimento sobre el tema. Más tarde, el matemático y neurocientífico Stanislas Dehaene diseño diversos test destinados a averiguar si ciertas de nuestras intuiciones numéricas más básicas (como la de colocar puntos en una recta) son universales o moldeadas por la cultura. Al igual que en el artículo El paraíso logarítmico perdido nos centraremos sólo en uno de los test.

Consistía básicamente en decirle a la tribu de los Mundurukus (en Brasil) que situara varios puntos del 1 al 10 (elegidos aleatoriamente) sobre una recta de 25 cm. La particularidad de esta tribu es que carecen de un verdadero sistema numérico para contar luego no estaban «contaminados» por la cultura occidental.  En este estudio, como los Munduruku no tienen simbología numérica, se representó simplemente el 1 como un círculo con 1 punto en el centro, y el 10 un círculo con 10 puntos dentro, con cada círculo a un extremo de la recta. Con el mismo procedimiento del experimento anterior se les pidió que situaran unos números en la recta y para comparar, también se realizó el mismo experimento a varios adultos de Boston.

Se observa un patrón muy similar al del experimento de Siegler: la tribu los distribuía de una manera logarítmica y los bostonianos de una manera lineal.

¿Qué significa todo esto?

Los resultados de ambos estudios apuntan a lo mismo: con la educación occidental, la gente distribuye los números de manera equidistante, mientras que los que carecen de esta educación tienden a apelotonar más los números cuanto más grandes son. Esto significa que para los mundurukus la distancia entre dos números se relaciona con su cociente (recordad que la diferencia de logaritmos es el logaritmo del cociente) mientras que para los bostonianos se relacionaba con la diferencia.

La explicación que dan los expertos es de índole evolutiva. Éstos creen que en realidad las proporciones resultan más importantes para la supervivencia que la habilidad para aprender a contar. Esto lo podemos ver fácilmente con ejemplos como la visión. La perspectiva nos hace percibir las cosas logarítmicamente: al contemplar un espacio abierto, el primer kilómetro nos parece más largo que el segundo. Lo mismo pasa con nuestra percepción del tiempo, que vuela más rápido a medida que envejecemos. En ambos casos, los psicólogos creen que en última instancia se debe a la ley psicofísica de Weber-Fechner que relaciona la magnitud de un estímulo físico y cómo éste es percibido… y efectivamente, hay logaritmos de por medio.

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