¡Tenemos ganador de La Ardilla de Oro! Y de paso, hablemos de contraejemplos

El día 7 de julio os hablé del juego La Ardilla de Oro, el que parece ser el juego de divulgación por excelencia. Más tarde, el día 13, daba comienzo el juego y esta bitácora era anfitriona con el árbol número 15 y os planteaba la siguiente pregunta:

Como sabrás (o deberías saber) las matemáticas son mucho más que jugar con numeritos, es más bien una rama del conocimiento que se encarga de hacer aseveraciones, ya sean proposiciones, teoremas, corolarios… E intentar demostrarlos…. o refutarlos 😉 No basta con probar muchas veces y que sea verdad, se necesita una demostración rigurosa, guiada por las leyes de la lógica para que se considere como cierta una afirmación. Por el contrario, para demostrar que algo es falso, por ejemplo «todos los políticos son honrados» bastaría que hubiera un solo político normal no honrado para que esa proposición fuera falsa. Es lo que se llama una… un… ¿Me ayudas?

P: En matemáticas, especialmente en lógica, ¿cómo llamamos a un caso concreto que refuta una aseveración considerada como cierta?

Pues desde este pasado día 18… ¡tenemos ganador! Mi más sincera enhorabuena a Jose Luis “Pepelu” Bueno López. medalla-ardilla

Como habrás adivinado ya, la respuesta a la pregunta es la que aparece en el título: contraejemplo. Poco más hay que decir sobre la definición de este concepto, usado tanto en filosofía como en matemáticas y que al fin y al cabo no es más que un ejemplo que sirve para refutar alguna afirmación. Veamos algunos ejemplos matemáticos:

  • Quizás de los más sencillo sería «todos los números primos son impares» y el contraejemplo sería el 2, que obviamente es primo y no es impar.
  • La conjetura de Pólya. Sabéis que todo número natural mayor que 1 se puede descomponer de forma única salvo el orden como producto de potencias de números primos. Por ejemplo, 36 = 2^2 \cdot 3^2 ó 7500 =2^2 \cdot 3 \cdot 5^4. En el caso del 36, se descomponía en una cantidad par de factores primos y en el caso del 7500 en una cantidad impar. Bien, pues esta conjetura dice que si coges un número cualquiera (llamémosle n), entonces la mayoría de los números menores que ese (el 50% o más) tiene una cantidad impar de factores primos. Si os da por empezar a comprobarlo a mano veréis que la cosa va siendo cierta. Pero no lo es, porque en el número n= 906.150.257 esta conjetura falla. He aquí un claro ejemplo de que un contraejemplo no tiene por qué ser inmediato.

 

  • La conjetura de Tait. Un grafo, dicho a grosso modo, es un conjunto de puntos que se llaman nodos y unas lineas que conectan los nodos, que se llaman aristas. Decimos que es “3-conectado” si al quitarle como mucho 3 nodos podemos “pasear” por las aristas y pasar por todos los nodos. Y decimos que es cúbico si de cada nodo salen 3 aristas. Pues la conjetura dice que en estas condiciones siempre habrá una forma de pasar por todos los nodos paseando por las aristas de manera que sólo pasemos una vez por cada nodo y volvamos al punto de partida (lo que se llama un ciclo Hamiltoniano). De nuevo, esta afirmación es mentira y el grafo en el que no existen ciclos Hamiltonianos es el siguiente:PlanarNonHamil

 

  • También pueden haber contraejemplos de afirmaciones negativas. Por ejemplo, tomemos la afirmación «no existe ningún número tal que concatenándose a sí mismo sea un cuadrado». Es decir, si cogemos el número 184 y lo concatenamos a sí mismo obtenemos el 184184 y este no es el cuadrado de ningún número (basta ver que si hacemos la raíz sale decimal). Bien, pues esta afirmación negativa tiene un contraejemplo (que la hace falsa) si el número es 13223140496 puesto que si elevamos al cuadrado 36363636364 obtenemos 1322314049613223140496.

 

  • Uno de geometría. En un espacio de dimensión n (si n=2 estamos en un folio, si n=3 estamos en el espacio…) si cortamos una figura en n+1 piezas, entonces cada pieza tiene un diámetro (la linea más larga que puedes encajar) menor que la figura original. Por ejemplo, con un hexágono y n=2 se cumple como vemos en la figura

Captura de pantalla 2015-07-20 10.23.31

Pero deja de cumplirse en dimensiones muy superiores… concretamente, la menor dimensión que se ha encontrado en la que falla es cuando n=64. ¿Cómo se os queda el cuerpo? Es lo que se llama la conjetura de Borsuk.

  • Otro de teoría de números para acabar. La hipótesis china afirma que si un número p cumple que al dividir 2^p entre p da como resto 2, entonces p es un número primo. El menor contraejemplo que se ha encontrado es cuando p=341

Espero que con esta entrada os haya quedado claro lo que es un contraejemplo, que los hay de mil tipos, que no tienen por qué ser inmediatos y que puede haber contraejemplos de afirmaciones negativas.

¡Ah! Y no quisiera terminar sin felicitar y dar las gracias a Metros por segundo por su fantástica iniciativa y todo su esfuerzo (que no ha sido poco), y a todos los participantes tanto ardillas como árboles. ¡A divulgar, y a saltar!

¡Y no te olvides de seguir a Scire Science en Facebook Twitter!

Anuncios

Acerca de ResisZienzia

Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
Esta entrada fue publicada en Carnavales, Curiosidades, Matemáticas y etiquetada , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Guarda el enlace permanente.

Una respuesta a ¡Tenemos ganador de La Ardilla de Oro! Y de paso, hablemos de contraejemplos

¿Alguna duda? ¿Quieres matizar? No dudes, pues, en comentar.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s