¿Por qué se ha premiado a los matemáticos?

El Congreso Internacional de Matemáticos (International Congress of Mathematicians, ICM) es el más importante congreso en la comunidad matemática. Se celebra cada cuatro años bajo los auspicios de la Unión Matemática Internacional (IMU). En este evento se congregan matemáticos (o gente a la que le gusten las matemáticas) de todos los rincones del mundo para asistir a una serie de conferencias y exposiciones, además de la entrega de algunos de los más famosos premios matemáticos

[QUIZÁS TE INTERESE: DE PREMIOS Y PEINADOS…]

Algunos datos curiosos es que se lleva celebrando desde 1897; en 1900 (el 2º congreso) fue donde David Hilbert presentó sus archiconocidos problemas matemáticos; en 2006 se celebro en Madrid… y este año ha tocado en Seúl, Corea del Sur. De hecho, está siendo ahora, puesto que es del 11 al 21 de agosto. Y todo esto venía porque ya se conocen los galardonados. Perdonad la extensión del artículo, pero la idea era explicar brevemente lo que ha hecho cada uno para ganarse el premio o medalla, por lo que ha sido necesario introducir varios conceptos. Si ya sabéis de lo que hablo podéis saltar directamente donde ya no hay definiciones, o ir simplemente al premio o persona que os interese. Vamos allá:


Medalla Fields (Más el efectivo, 10 000€)


18_matematico_575x300Artur Avila, del Centro Nacional para la Investigación Científica de Francia (CNRS) y del Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) de Brasil.

“Por sus profundas contribuciones a la teoría de los sistemas dinámicos, que han cambiado la faz de este campo, utilizando la poderosa idea de la ‘renormalización’ como principio unificador.”

Avila se encarga del campo de los sistemas dinámicos, aquellos que van cambiando con el tiempo, y que muchas veces son difíciles de estudiar porque pueden haber muchas variables a tener en cuenta, o directamente porque no hay un método fijo para resolver los problemas. En esto es donde ha destacado este joven investigador, avanzando mucho en este campo. La renormalización se refiere a muy muy groso modo (físicos del mundo, no me lapidéis) que hay veces que para describir un sistema se utiliza una cantidad finita de puntos y la cosa va bien, pero a la hora de pasar al límite y considerar una infinidad de puntos, hay propiedades matemáticas que dejan de estar bien definidas; entonces con el conjunto de técnicas llamada renormalización, todo vuelve a su lugar dando lugar a términos finitos (cuando aparecen infinitos en algunas operaciones son un incordio). Así, gracias al trabajo de Avila se ha conseguido entender mucho mejor (entre otras cosas) la geometría fractal de los conjuntos Feigenbaum Julia.

Feig3

Conjunto fractal Feigenbaum Julia.

Además, entre otras contribuciones, ha ayudado a entender mejor los sistemas de billar planos. Es decir, cómo se comportan las bolas de billar dependiendo de cómo las golpees, de la forma de la mesa, etc.


1bManjul Bhargava, de la Universidad de Princeton.

“Por desarrollar nuevos y poderosos métodos en la geometría de números y aplicarlos para contar anillos en un pequeño rango y acotar el rango medio de curvas elípticas.”

La geometría de números es un campo que de alguna manera se relaciona con saber las formas de apilar naranjas en un bol. Pero si la forma es más rara y tiene tentáculos, por ejemplo, el problema se complica y pueden salir resultados bastante poco intuitivos. Bhargava ha conseguido desarrollar métodos para determinar el número de estos entramados de puntos que pueden darse en formas un poco más retorcidas. Respecto a las curvas elípticas, recordad que las curvas se pueden escribir como polinomios, y en el caso de las elípticas son aquellas cuyo mayor grado es 3. Si igualamos estos polinomios a cero tenemos ecuaciones, y un problema típico es saber cuando estas ecuaciones tienen soluciones enteras o racionales. Aquí es donde este matemático indio ha obtenido métodos para saber la cantidad de elípticas que tienen soluciones enteras o racionales.

Ejemplos de curvas elípticas con el polinomio asociado: como mucho el grado (exponente) es 3

Ejemplos de curvas elípticas con el polinomio asociado: como mucho el grado (exponente) es 3.

Finalmente, los anillos (de los que hablamos aquí) son unas estructuras algebraicas con unas propiedades muy concretas, y todo junto puede ser aplicado en campos como la criptografía.


mh2 Martin Hairer, de la Universidad de Warwick en el Reino Unido.

“Por sus excepcionales contribuciones a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales estocásticas, y en particular por crear una teoría de estructuras regulares para tales ecuaciones.”

Cuando algo está sujeto a un cambio, se puede (otra cosa es que se sepa hacer) explicar mediante derivadas. Cuando tratamos de establecer relaciones entre varias variables, en sucesos como el movimiento de planetas, la economía… esas relaciones se plasman matemáticamente en forma de ecuaciones. Y puesto que están sujetas al cambio, estas ecuaciones llevan derivadas (como pueden llevar sumas, productos…). Estas son las que se llaman ecuaciones diferenciales.  Una solución de una ecuación diferencial, por ejemplo que explique el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, podría ser en qué posición está la Tierra dado un instante t de tiempo. En este caso, se trata de una ecuación diferencial determinista, en el sentido de que dado un instante en el tiempo, se puede saber la posición exacta de la Tierra. Por otra parte están las ecuaciones diferenciales estocásticas, cuando no lo puedes saber con total precisión. Un ejemplo de ecuación diferencial estocástica sería alguna que explicase como va evolucionando el precio de acciones en bolsa, que aunque depende del precio de salida de las acciones, el precio es esencialmente impredecible y un tanto aleatorio. Más aún, en el caso del movimiento planetario, la única variable es el tiempo, por lo que estas ecuaciones diferenciales se llaman ordinarias (EDO). Para estas ecuaciones hay una teoría bastante completa sobre su existencia, existencia de soluciones, dependencia de condiciones iniciales… Pero luego entran en escena las ecuaciones en que hay más de una variable (por ejemplo el tiempo y el espacio) que son las llamadas ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Si la relación es una proporción, las ecuaciones son lineales, pero si no (por ejemplo hay algún término elevado al cuadrado) se trata de ecuaciones no lineales.

Una vez asimilado todo este vocabulario, hay que tener en cuenta que las más difíciles de resolver por falta de métodos son las EDP, y más aún si son no lineales… casualmente las que describen la mayor parte de los fenómenos de la naturaleza. Y aquí es donde ha destacado Hairer, desarrollando un método que puede utilizarse para resolver una gran cantidad de ecuaciones en derivadas parciales no lineales estocásticas. Un ejemplo de EDP no lineal estocástica sería la ecuación KPZ, que describe la evolución de la interacción entre dos superficies, como podría ser el agua al mojar una servilleta o un líquido entre dos placas de cristal. Aunque parezca que haya regularidad, el movimiento de las moléculas es esencialmente aleatorio, y la gráfica de un proceso como este es algo así como

White_noise

Toda esa cantidad de picos, en términos matemáticos significa que en ese punto no admite derivada, no es diferenciable, pero por ser la solución de una ecuación diferencial debería ser diferenciable… El método de Hairer, y por lo que ha ganado la medalla Fields ha sido por “suavizar” este tipo de señales con métodos estadísticos, desplumando en un momento todo el misterio que entrañaban este tipo de EDP’s.


p_4Maryam Mirzakhani, de la Universidad de Stanford.

“Por sus avances sobresalientes en la dinámica y geometría de las superficies de Riemann y sus espacios modulares.”

Aquí ya nos metemos en temas un poco más técnicos, pero intentemos darle una pincelada. El ejemplo que pone ella misma es la de una mesa de billar: si le damos un golpe a una bola, dependiendo del ángulo en que le demos, y suponiendo que pueda recorrer la mesa infinitamente (como si no hubiera fricción), ¿qué tipo de patrones hará? ¿Recorrerá toda la superficie? Si consideramos la mesa como un espacio, estamos ante un espacio euclídeo, es decir “plano”, donde los ángulos internos de los triángulos siempre suman 180º y todo funciona tal y como estamos acostumbrados. Pero la cosa va más allá. Ahora cogemos la mesa y la deformamos, le damos mil vueltas, le hacemos agujeros… ¿qué pasará entonces? Ahora hemos perdido el espacio euclídeo, estamos ante una superficie de Riemann. En la dinámica (cómo se mueven las cosas) en este tipo de superficies es a lo que se refiere la primera parte del enunciado sobre por qué ha sido premiada la primera mujer con la medalla Fields.

Riemann

Ejemplo de superfície de Riemann con algunas geodésicas.

Para lo de los “espacios modulares” tenemos que explicar otro concepto: las geodésicas. Básicamente, es el camino más corto entre dos puntos. ¿La línea recta? Bueno, en un espacio euclídeo sí. Pero puede que las geodésicas sean infinitas, que hagan circuitos cerrados… Y el número de geodésicas en una superficie hiperbólica (de Riemann) aumenta exponencialmente conforme la longitud de la geodésica aumenta. El cómo es a lo que ha respondido Mirzakhani. Y la cosa no acaba aquí, si no que lo ha relacionado con otras dos grandes cuestiones. La primera es para la prueba de una conjetura realizada por el físico Edward Witten (en esto no me meto) y la segunda sobre una fórmula para calcular el volumen de espacios de módulos, a grosso modo, el conjunto de todas las posibles estructuras hiperbólicas que se pueden obtener dada una superficie hiperbólica.


Premio Nevanlinna (Más el efectivo, 5 000€)


games-conjectureSubhash Khot, de la Universidad de Nueva York.

“Por su profética definición del problema ‘Juegos Únicos’, y su liderazgo en el esfuerzo para entender su complejidad y su papel crucial en el estudio de la aproximación eficiente de problemas de optimización, que han producido avances en diseños algorítmicos y dureza de la aproximación, y nuevas e interesantes interacciones entre complejidad computacional, análisis y geometría.”

En ciencias de la computación (construir modelos matemáticos y métodos numéricos para resolver problemas) ha habido durante años dos tipos de problemas. Los primeros, los que pueden resolverse en un tiempo razonable (tiempo polinómico, P), son “los fáciles”, por ejemplo dado un origen, un destino, y varias calles por donde recorrer el camino entre estos dos puntos, encontrar cuál es el camino más corto. Si aumentamos el número de calles disponibles, aumentará el tiempo que tardaremos en resolverlo, pero será razonable en comparación al número de calles que añadamos. Pero luego están los problemas NP, resolubles en tiempo no polinómico, cuando se tarda la tira en resolver el problema. El ejemplo típico es el problema del viajero, que dice así: Dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y regresa a la ciudad origen? Lo más que se había podido hacer era ir obteniendo algoritmos que consiguieran una solución más eficiente (si no pasar por todas, al menos por la mayoría de las ciudades) y en un tiempo lo más corto posible. Dentro de este grupo de problemas están los NP-completos. Un problema es NP-completo si cualquier otro problema NP puede reducirse (es decir, utilizar el mismo método para resolverlo) a éste problema NP-completo. El problema del viajero es de este tipo.

Respecto a la conjetura de juegos únicos: un grafo es, intuitivamente, un “dibujo” donde hay vértices o nodos conectados entre ellos (no tienen por qué estar conectados todos) mediante aristas. Un caso de juegos únicos es un conjunto de vértices, de aristas y de restricciones sobre como “etiquetar” los vértices (por ejemplo coloreándolos) y la idea del problema es ver qué restricciones otorgan una solución al problema y cuáles no.

Captura de pantalla 2014-08-15 19.04.02

Aquí tenemos 4 vértices y 4 aristas; 3 colores (azul, rojo y verde) y las restricciones son las que ponen encima de las aristas. Por ejemplo a la izquierda, si el vértice de arriba es rojo, el de abajo tiene que ser que rojo.

Captura de pantalla 2014-08-15 19.04.04

Y aquí una posible solución de este juego único, ya que se cumplen las restricciones para todos los vértices (la solución no tiene por qué ser única).

Dependiendo de las restricciones que pongamos puede que el problema no tenga solución, o que la tenga sólo para una cantidad pequeña de vértices; o que el problema tenga solución para una gran cantidad de vértices, sino para todos. La conjetura de juegos únicos, así, dice que si el número de vértices es suficientemente grande, entonces el problema de decidir si tiene solución o no es un problema NP-completo.

Y esta conjetura la formuló Khot, a lo que le llovió una cantidad ingente de consecuencias de si esta conjetura fuera cierta, del tipo “Aquí hay una aproximación algorítmica para el problema X y una demostración de que encontrar alguna solución mejor es un problema NP-completo”. Tanto si esta conjetura fuera cierta como si fuera falsa, implicaría muchas e importantes consecuencias en los campos de optimización, diseño algorítmico e incluso análisis y geometría.


Premio Gauss (Más el efectivo, 10 000€)


20061012Stanley Osher, de la Universidad de California.

“Por sus influyentes contribuciones a diversos campos en matemáticas aplicadas, y porque sus invenciones con múltiples implicaciones han cambiado nuestra concepción de los conceptos físicos, perceptuales y matemáticos, dándonos nuevas herramientas para comprender el mundo.”

Osher ha creado métodos numéricos innovadores, llamado método del conjunto de nivel, para resolver ecuaciones en derivadas parciales (mirar en este mismo artículo la explicación de Martin Hairer). También ha producido un nuevo método para describir con precisión como los objetos cambian, como un airbag cuando se infla o cuando una gota de aceite cae en el agua.

Los resultados de su investigación han mejorado los escáneres por resonancia magnética y los análisis de imágenes médicas, el diseño de chips de ordenador avanzados, ha ayudado a las agencias contra el crimen a combatirlo, ha mejorado la visión artificial, ha proporcionado nuevos métodos para predecir el tiempo e identificar la fuente de terremotos, e incluso revolucionó la modelización computacional para el diseño de jets supersónicos.


 Medalla Chern (Más el efectivo, 250 000$)


GriffithsPhillip Griffiths, del Instituto para el Estudio Avanzado, en EEUU.

“Por su innovador desarrollo de métodos trascendentales en geometría compleja, particularmente su influyente trabajo en teoría de Hodge y periodos de variedades algebraicas.”

El trabajo de Griffiths es casi casi matemática pura, por lo que me temo que no voy a poder poner ejemplos como los que he puesto hasta ahora. Aun así, básicamente ha trabajado en tres campos: ecuaciones diferenciales (de las que ya hemos hablado); geometría diferencial, que consiste en estudiar la geometría de objetos matemáticos pero desde el punto de vista del análisis matemático, con conceptos como conexión (que no esta “separado” en dos trozos) y curvatura (intuitivamente, la “cantidad” que un objeto deja de ser plano al estar en una superficie curva); y geometría algebraica, que es definir y estudiar los cuerpos geométricos con herramientas como ecuaciones o polinomios (el ejemplo más sencillo: con dos dimensiones, en el plano, ‘y=0’ es el eje horizontal, una recta que pasa por el punto (0,0)). Más concretamente ha trabajado en geometría compleja, algo así como una generalización de la geometría real, es decir, la que trabaja con números reales, en vez de con números imaginarios (la unidad imaginaria es \sqrt{-1}).

Lo llamativo de su trabajo, a parte de todo el avance que ha hecho en su campo, es la motivación que ha procurado a otros estudiantes y a otros trabajos similares, y que ha tenido repercusión en campos tan aparentemente alejados como la teoría de cuerdas o la teoría de la relatividad en física.


Premio Leelavati (Más el efectivo, 1 000 000 de rupias indias, un poco más de 12 250€)


Adrian-Paenza-archivoAdrián Paenza, de la Universidad de Buenos Aires.

“Porque sus contribuciones han cambiado definitivamente la mente de todo un país entero sobre la manera en que se perciben de las matemáticas en el día a día. Lo ha conseguido a través de sus libros, sus programas de televisión, y su don único de entusiasmo y pasión al comunicar la belleza de las matemáticas.”

Adrián Paenza conduce (actualmente va por la 12ª temporada) el programa “Científicos Industria Argentina” en una televisión pública. Con una bonita y atractiva interfaz, cada programa consiste en entrevistas con matemáticos y científicos de multitud de disciplinas, y acaba con un problema matemático cuya solución se da en el siguiente programa.

También ha llevado el programa de TV “Alterados por Pi”, media hora cada semana, dedicado exclusivamente a la popularización de las matemáticas; este programa se graba enfrente de público en vivo en varios colegios públicos a lo largo del país.

alterados

Desde 2005, ha escrito una columna semanal sobre ciencia en general, pero principalmente sobre matemáticas, en la contraportada de “Página 12”, uno de los tres periódicos nacionales de Argentina. Sus artículos incluyen notas históricas, chistes e incluso demostraciones de teoremas.

Ha escrito ocho libros dedicados a la popularización de las matemáticas: 5 bajo el nombre “Matemática… ¿estás ahí?“, publicados por Siglo XXI Editores, con los que ha vendido más de un millón de copias. El primero de la serie, publicado en Septiembre de 2005, encabezó la lista de best sellers con el récord de 73 semanas consecutivas, y va ahora por su 22ª edición. El enorme impacto e influencia de estos libros se ha extendido por toda América Latina y España; también han sido publicados en Portugal, Italia, República Checa, y Alemania; e incluso una edición ha sido recientemente traducida al chino.



Esto es todo (perdonad de nuevo por la longitud del artículo) y espero haber dado una pincelada al por qué estos maestros han ganado las medallas y premios otorgados por el Congreso Internacional de Matemáticos.

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Acerca de ResisZienzia

Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
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