Cuando la democracia choca con las matemáticas… ¿justicia?

Aprovechando que este domingo 25 han sido las Elecciones al Parlamento Europeo 2014 y aprovechando que estudio matemáticas… ¿qué mejor que mezclar estos dos conceptos? Lo habréis oído en boca de bastantes matemáticos (y los que me conozcáis en la mía propia) eso de que las matemáticas están en todas partes… incluida la democracia.

540_Este sistema de gobierno que nació en Grecia es considerado como uno de los más justos porque tiene en cuenta la opinión de todos los votantes pero… ¿es esto realmente así?

Esa pregunta ya se la hizo el premio Nobel de economía de 1972 Kenneth Arrow  analizándola con el rigor que caracteriza las demostraciones matemáticas. Para esto, primero había que establecer claramente la definición de justo. ¿Qué es justo? Arrow partió de los siguientes axiomas (¿no sabes lo que es un axioma?) que consideró necesarios para que unas elecciones sean justas:

  • Dominio no restringido: el mecanismo de votación (la democracia si fuera el caso) debería poder considerar las preferencias de los votantes, todas las posibles preferencias.
  • Ausencia de dictador: no debe haber ninguna persona cuyas opiniones puedan cambiar la decisión de todo el grupo. Ojocuidao, no me refiero a que “un voto decida las elecciones” si no que una sola persona decida las elecciones aunque tenga al resto en contra.
  • Eficiencia de Pareto: una mejora se dice de Pareto en una población si produce una mejora en al menos un individuo sin que perjudique a ningún otro. El óptimo de Pareto se alcanza cuando ya no se pueden ejecutar más mejoras de Pareto.
  • Independencia de alternativas irrelevantes: los temas que se vayan a votar deben ser claros, netos y precisos.

Pues bien, con estos axiomas Arrow demostró en el teorema de imposibilidad o paradoja de Arrow que es IMPOSIBLE que exista un sistema justo que permita generalizar las preferencias de los individuos hacia una preferencia global de la comunidad. Esta “paradoja” implica que se “necesita” un dictador, ya que así al solo haber un votante las preferencias siempre se cumplirían. En este tipo de sistemas de votación también hay que tener en cuenta que las votaciones son jerárquicas, es decir, cada votante “pone en orden” sus preferencias, en vez de votar a un solo candidato.

Pero esto no era nuevo, en 1785 Nicolás de Condorcet planteó lo que se conoce como paradoja de Condorcet que describe cómo las decisiones adoptadas por una mayoría popular siguiendo un modelo de escrutinio pueden ser incoherentes con respecto a las que adoptaría un individuo racional. Puso un sencillo ejemplo de esto, que para darle más vidilla a la cosa, voy a modificar un poco…

¡Bienvenidos a las elecciones del mejor escéptico! Los candidatos son:

Con un meme, una serie en emisión y unas gafas muy de CSI… ¡Neil deGrasse Tyson!

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Con la introducción del término “meme”, debates en contra del diseño inteligente por todo el mundo y una foto muy de película conmovedora… ¡Richard Dawkins!

VIDEO_RICHARD_DAWKI_447957aY con un premio de un millón de dólares para quien demuestre algún tipo de pseudociencia o magia, con una carrera como un mago fantástico a sus espaldas y una barba que no tiene nada que envidiar a la de Dumbledore o Gandalf… ¡James Randi!

thumbAhora consideremos una asamblea con 60 votantes, por ejemplo. Tienen que elegir el orden de los candidatos. Por ejemplo Tyson > Randi significa que prefieren más a Tyson que a Randi. Así, las votaciones quedan:

23 votantes prefieren: Tyson > Randi > Dawkins

19 votantes prefieren: Dawkins > Randi > Tyson

16 votantes prefieren: Randi > Dawkins > Tyson

2 votantes prefieren: Randi > Tyson > Dawkins

Así, parece que 23 votantes prefieren a Tyson, 19 a Dawkins y 18 a Randi. Es decir, el resultado pluralista es Tyson > Dawkins > Randi.

Pero si ahora comparamos dos a dos obtenemos lo siguiente:

35 prefieren Dawkins > Tyson contra 25 para Tyson > Dawkins

41 prefieren Randi > Dawkins contra 19 para Dawkins > Randi

37 prefieren Randi > Tyson contra 23 para Tyson > Randi

Con lo que el total, el resultado de la preferencia mayoritaria  es Randi > Dawkins > Tyson… ¡todo lo contrario a lo de antes!

Es a este tipo de casos a los que se refería Condorcet con lo de su paradoja. Con todo esto no quiero decir que el sistema de votación actual (quitando chanchullos y demás) no sea justo, simplemente que partiendo de unos axiomas que parecen bastante racionales, depende mucho el sistema de votación que se elija, pudiendo darse la vuelta completa al resultado.

Y es que como he leído por ahí:

Mira que son puñeteras las matemáticas a veces. Sólo a veces.

 

¡Justicia y ciencia!

Pd: Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.

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Acerca de ResisZienzia

Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
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3 respuestas a Cuando la democracia choca con las matemáticas… ¿justicia?

  1. Pingback: Cuando la democracia choca con las matemáticas… ¿justicia?

  2. ingenergia dijo:

    Interesante artículo. Hace ya bastante tiempo recuerdo posts sobre los sistemas electorales, sus ventajas y desventajas en el Nada Es Gratis del conocido Think Tank FEDEA [http://www.fedeablogs.net/economia/?tag=sistemas-electorales]. Si alguien desea continuar leyendo sobre cómo se elige a nuestros representantes, cuáles son las alternativas y como un análisis desde las matemáticas y la estadística destapa pros y contras difícilmente detectables a primera vista, pueden serle curiosos.

    Quisiera contrarrestar el ligero pesimismo que pueden dejar las paradojas expuestas en el post sobre la idoneidad de la democracia como método de selección de quienes nos gobiernan con un enlace a “La sabiduría de las masas”. El concepto central es que cuando elegimos de forma individual, el resultado colectivo suele ser mucho más acertado que cada una de las decisiones particulares. El ejemplo clásico es el de una feria de ganado. Un pequeño jurado de expertos debe estimar el peso de un enorme toro semental e invitan al público asistente a hacer lo mismo, de forma secreta y sin influencias de uno sobre otro. El resultado: el peso del toro es mucho más próximo a la media de las estimaciones realizadas por el público que a las hechas por los expertos.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Wisdom_of_the_crowd

    Un saludo,
    Alejandro

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    • ResisZienzia dijo:

      Hola Alejandro, en primer lugar muchas gracias por comentar y me alegro de que te haya parecido interesante.

      Coincido contigo, quizás puede parecer que todo se va a echar a perder teniendo en cuenta estas “paradojas”, pero desde luego no es mi intención dar esa visión. Sin duda la idea de la sabiduría de las masas es muy apropiada y muestra la otra cara de las ventajas de contar con más de una persona (bastantes más) para decidir, gracias por el enlace.

      Saludos,
      Cristóbal.

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