¿Cómo se comunican los matemáticos?

Il libro della natura é scritto in lingua matematica – Galileo Galilei

¿Por qué hablamos del “lenguaje matemático”? ¿Qué tiene de especial en comparación con el llamado lenguaje natural (en este caso el castellano)?

Como en otras ciencias, las Matemáticas necesitan dotarse de un lenguaje propio por varios motivos. La primera, para formalizar. La intuición es totalmente necesaria para el conocimiento humano, pero es muy falible y ahí es donde entra la lógica y las demostraciones. Hasta el s.XVIII más o menos (con excepciones, por supuesto) el conocimiento matemático avanzaba con demostraciones un tanto… poco adecuadas, digamos. No es que fueran incorrectas, sino que en ocasiones no hacían sino complicar la idea que subyacía con un lenguaje ambiguo y difícil de comprender, por eso hacía falta poner unas reglas universales (dentro de lo que cabe) que sirvieran como una especie de diccionario y libro de gramática para poder dejar las cosas claras. La segunda razón es la que ya hemos comentado, simplificar el lenguaje. ¿Cómo? ¿Que el lenguaje matemático simplifica? Pues sí, si no acordaos de lo fácil que era resolver una ecuación directamente en comparación con plantear un problema escrito en lenguaje natural. Y por último, por una característica fundamental de la lingua della naturala precisión. En términos matemáticos no existe el “creo que sí” o el “esa recta es más o menos tangente”. Ojo, no confundir con el símbolo “más menos”( \pm ) o el aproximado ( \approx ), ya que en este último caso la precisión reside en el margen de error que sabemos que hay.

Y con esta entrada pretendo iniciaros en ese lenguaje, ya que podría ser útil en próximas entradas o simplemente por cultura científica (recordad que muchas ciencias utilizan parte de esta terminología justamente por eso, por la precisión). Trataré básicamente notación lógica y notación conjuntista aunque insisto, solo lo más básico:

¡Ah! Se me olvidaba. Al hablar de enunciados, para simplificar se suelen representar por letras como P, Q, R… Para en vez de tener que decir cada vez  (por ejemplo)  «la frase “el placebo es muy poderoso” es verdadera», si representamos por P a esa frase simplemente diremos “P es verdadera”. Continuemos.

Negación

SIMBOLO DE NEGACION

Representado por el símbolo ” ¬ ” significa algo más que poner una carita mirando mal (¬¬) , su uso es negar un enunciado. Así, por ejemplo, si nuestro enunciado P es “Mi madre es un pitufo”, ¬ P (‘no P’) será “Mi madre no es un pitufo”.

 

Conjunción y disyunciones

disyconjDe izquierda a derecha en la imagen: \wedge es la conjunción, lo que en el lenguaje natural sería “y”. Por ejemplo, una contradicción aparece cuando se da una situación del tipo \wedge ¬ P, es decir cuando se da un enunciado y su negación. La siguiente, \vee es la disyunción, el equivalente al “o”. Si nuestro enunciado P es “Te has comido la tarta” y nuestro enunciado Q es “Te has comido el flan”, entonces P \vee Q sería “Te has comido la tarta, o te has comido el flan o las dos cosas“. Esto último es importante, ya que es lo que diferencia esta disyunción de la disyunción exclusiva, \triangle, ya que si pusieramos P \triangle Q significaría “O te has comido la tarta o te has comido el flan”, pero no ambas cosas a la vez.

Implicaciones

Aquí ya entramos en oraciones enteras, por decirlo así. Por ejemplo, ahora nuestro enudisyconjnciado P será “demuestro que el horóscopo funciona” y mi enunciado Q “gano el premio de un millón de dolares de la James Randi Educational Fundation”. Puesto en lenguaje lógico, una oración seria P \rightarrow Q que lo podemos leer como “Si P entonces Q” (es lo mismo que poner Q \leftarrow P). En este caso, demostrar que el horóscopo funciona es una condición suficiente para ganar el premio (ya que es suficiente que lo demuestre para ganarlo); mientras que ganar el premio de la JREF es una condición necesaria para demostrar que el horóscopo funciona (ya que no puede darse el hecho de haberlo demostrado y no ganar el premio). Por el sentido en el que va la flecha, y puesto que no va hacia el otro lado, se dice que el recíproco no es cierto. Es decir, que gane el premio, no significa que haya demostrado que el horóscopo funcione. ¿Y la flecha de dos puntas? Es lo que se llama una condición necesaria y suficiente, una doble implicación. Por ejemplo, ahora nuestro enunciado P es “x+2=3” y Q “x=1”. Parecen lógicas las oraciones “Si x+2=3 entonces x=1, y si x=1 entonces x+2=3”. Con lenguaje lógico se escribiría como “P \leftrightarrow Q” o “P sii Q” o “P si y sólo si Q”. Antes de concluir este apartado quiero hacer una aclaración: Si A \rightarrow B no significa que ¬A\rightarrow ¬B, sino que ¬B \rightarrow ¬A. Lo iré poniendo de manifiesto en más entradas, pensadlo…

Pertenencia e inclusión

Esta parte ya sí que es claramente conjuntista (de conjuntos). Como ya comentamos aqdisyconj trataremos los conjuntos de manera intuitiva, simplemente los definimos con una agrupación de “cosas”. Y a esas cosas las llamamos elementos. Si nuestro conjunto es “los habitantes de la Atlántida (HA)” y si yo soy un atlante diremos que “yo pertenezco al conjunto de los habitantes de la atlántida” o en símbolos matemáticos yo \in HA. Como tú no perteneces, podemos decir tu \notin HA. No tiene más. ¿Y si quiero decir que toda mi familia es atlante? Como mi familia ya es un conjunto (una agrupación de miembros, por ejemplo) ya no podemos utilizar la pertenencia, tenemos que utilizar la inclusión. Si mi familia es el conjunto F, en símbolos matemáticos quedaría F \subseteq HA, si sabemos que es un subconjunto de los atlantes pero no son todos los atlantes que hay, será una inclusión estricta, y quedará como F\subsetneq HA. Como tu familia (TF) no es atlante, TF \nsubseteq HA.

Notación constructora de conjuntos

disyconj¿Cómo definiríais a los ladrones? “Las personas que roban”. Es decir, los elementos (x) del conjunto de personas (P) tales que roban. Ya habíamos contado en este blog, que para delimitar un conjunto lo hacemos entre llaves {}, entonces la definición del conjunto de ladrones (L) quedaría tal que así:

L = \{ x \in P : roban \} es decir, la expresión “tal que” se simboliza con los dos puntitos, o con una barra, es indiferente.

Cuantificadores

No, no son ni una “A” al revés ni una “E” al revés, son un cuantificador universal y undisyconj cuantificador existencial. ¿Mande? La “A al revés” se lee “para todo” y la “E al revés” se lee como “existe algún” o “existe al menos uno”. Esto es útil para contar cosas que cumplan alguna propiedad. Por ejemplo, con los ladrones de antes, es lógico decir que \forall x\in L \; x roba. Es decir, todos los ladrones roban (por definición 😉 ). ¿Qué es lo contrario de esta expresión? ¿”Ningún ladrón roba”? NO. El contrario es “hay algún ladrón que no roba”, es decir  \exists x\in L : no roba.

Este matiz es importante cuando hay que demostrar que algo no se cumple, ya que si el enunciado afirma que se cumple, por ejemplo, para todos los números basta encontrar un contraejemplo, un número en el que no se cumple. Si queremos especificar que existe un único elemento, le pondremos un “!” después del símbolo de existe.

Estas son las herramientas básicas de las que nos servimos los matemáticos para hablar en nuestro lenguaje. Al principio puede parecer un poco engorroso, pero simplifica muchísimo las cosas a la hora de definir o de demostrar. Finalmente os dejo con una parte de las camisetas de las MatePaellas 2013 del grupo de 1º de valenciano… a ver si la entendéis 😉

disyconj

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2 respuestas a ¿Cómo se comunican los matemáticos?

  1. Neo dijo:

    Es necesario llevarlo no sólo a lenguaje natural, sino a poesía: “Todo hombre en este planeta, puede encontrar una mujer con la que experimentar el amor”.

    Probabilísticamente y filosóficamente: “Todo ser humano tiene la posibilidad de encontrar su media naranja”.

    Rigurosamente: “Para cada par de personas hombre y mujer que tomemos del planeta Tierra, podemos combinar al hombre con al menos una mujer que exista en el planeta y ellos dos juntos puedan entregarse y darse completamente uno al otro creando así una pareja amorosa.”

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  2. Pingback: ¿La hipótesis de Pitágoras y el axioma de la evolución? | Scire Science

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