Dando la nota: ¿qué son y de dónde han salido?

Como muchos sabréis (y otros habréis leído en mi biografía) soy flautista, por lo que me gustaría divulgar también la música desde un punto de vista más… preguntón, intentando explicar los porqués de las cosas y ayudando a entender mejor la propia música (destriparla no la hace sino todavía más hermosa). Y que mejor sitio por donde empezar que las notas.

En esta entrada os voy a hablar de los sonidos en sí, la notación la trataremos en un futuro. Así, las notas no son más que sonidos, es decir, ondas. Estas ondas se diferencian en especial por su frecuencia, el número de vibraciones por segundo. La unidad de medida es el Hz, denominado así por el físico Heinrich Rudolf Hertz. Es lo que denominaríamos como más agudomás grave. En una cuerda, por ejemplo (es análogo a instrumentos de viento, con la longitud de los tubos) la frecuencia del sonido es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda, así si la cuerda es más larga la frecuencia será menor (más grave) mientras que si es más corta, la frecuencia será mayor (más aguda). No es difícil asimilarlo al comparar un contrabajo con un violín, o un flautín con un fagot. Luego (en un mismo instrumento) las notas no son más que una misma onda con diferentes frecuencias, que el músico puede controlar variando la longitud del tubo o de la cuerda, por ejemplo.

Imagen

La onda de abajo podría sonar más bien como un pitido, y la de arriba como un señor con la voz grave

Vale, pero cuando el director de la banda o de la orquesta dice “Dame un Sol” y el músico toca esa nota, ¿por qué suena con esa frecuencia exacta? ¿Cómo se construyen las notas para que además, suenen bien? Para esto nos tenemos que remontar hasta la antigua Grecia, hasta los pitagóricos….

Éstos se dieron cuenta de que si cogen una cuerda y la hacen sonar junto con otra cuerda que mide justo el doble (o la mitad) que la anterior, sonaba bien… de hecho, sonaba tan bien que parecía el mismo sonido. Lo que estaban haciendo era tocar la octava de una nota. En este audio podéis oír una nota fija, y luego variando hasta que llega a la octava. A pesar de que el “sonar bien” es subjetivo, lo que pasa a nivel físico es que una tiene la mitad (o el doble) de frecuencia que la otra, haciendo que la onda resultante sea más o menos uniforme, que es lo que consideramos como un sonido “bonito”, un sonido consonante. Otra cosa de la que se percataron, es que dos sonidos sonaban bien cuando los cocientes de sus frecuencias (es decir, la frecuencia de un sonido entre la frecuencia del otro) resultaba una fracción con numerador y denominador potencias de números pequeños. La primera que viene a la mente es 2/1 (la octava), la siguiente podría ser 3/1… pero como ya se pasa de la octava (que es prácticamente el mismo sonido) dividimos entre 2 para que se quede en el intervalo [1,2], quedando así la frecuencia de 3/2 (respecto a la nota que tenía frecuencia 1). Está proporción es lo que llama quinta. Haciendo click aquí podéis escuchar lo mismo que en el audio de la octava, solo que una quinta, viendo que tampoco suena nada mal.

Así que con la relación de 3/2 suena bien… pues la siguiente siguiente nota será “la quinta de la quinta”, es decir, \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}. Como el resultado es mayor que 2, lo dividimos entre 2 para que quede en la misma octava que el resto, quedando así 9/8. Pues ya está claro, repetimos este proceso hasta que lleguemos al 1 o al 2 y ya tendremos la nota pero….¿y si no llegamos nunca? De hecho, nunca lo vamos a hacer, porque son fracciones con potencias de 3 en el numerador, y potencias de 2 en el denominador, y eso nunca va a ser 1 o 2. Pero en la duodécima nota obtenemos 2.02… que es un número bastante cercano a 2, así que lo dejamos así, con 12 notas, lo que se llama escala pitagórica.

La distancia entre una nota y otra de esta escala se llama semitono. El problema con esta escala estaba pues (a pesar de que se utilizó durante mucho tiempo) en que la distancia de los semitonos no era constante, por esta pequeña variación, entonces era difícil ajustar las composiciones cuando se transportaba de un tono a otro, por ejemplo para que una partitura de flauta la tocara un clarinete. Entonces la idea era que el cociente de las frecuencias fuera constante… llamémosle x (estudio matemáticas, no me culpéis). Así, si la primera nota tiene frecuencia 1, la segunda tendrá x (x/1=x), la tercera tendra x^2 (x^2/x=x), la cuarta x^3… y x^{12} debe ser igual a 2. De esto último tenemos que x=\sqrt[12]{2}. Esta escala se conoce como escala temperada, y fue Johann Sebastian Bach el que empezó a utilizarla en sus composiciones.



 

ACTUALIZACIÓN (18/04/2014):

Temperar significa variar ligeramente la afinación de algunos intervalos para conseguir determinadas ventajas armónicas. La escala temperada de la que acabamos de hablar, no es la única sino que existen otros sistemas temperados (Kirnberger, Werckmeister) que permiten tocar en todas las tonalidades (aunque con diferencias entre cada una de ellas). El caso es que no se sabe con seguridad cuál de estos sistemas temperados era el utilizado por Bach. La denominación “bien temperado” que incluye Bach en el título de sus dos colecciones de preludios y fugas no quiere decir necesariamente que se trate del temperamento igual.(http://dl.dropboxusercontent.com/u/17831110/Grove/Entries/S30099.htm#S30099)



 

Pero espera… ¿qué nota utilizamos como el número 1? Aquí ya intervienen los acuerdos, los convenios… y aunque ha ido cambiando a lo largo del tiempo, lo que más se suele utilizar es el la a 440Hz. El principal motivo de este acuerdo es que se pueda reproducir bien en laboratorios (el 439 era un incordio al ser número primo) y que las cuerdas de los violines no se rompieran, ni los cantantes se dejaran las voces nada más empezar. Por la representación de las raíces en forma de potencias, otra forma de calcular la frecuencia de una nota es

Captura de pantalla 2014-04-14 12.21.06, donde f es la frecuencia que queremos obtener, y n es el número de semitonos que hay desde el La hasta la nota que queremos. Así, si n=0 obtenemos (lógicamente) que la frecuencia del La es 440 Hz, y si n=12 (la octava), vemos que la frecuencia es 880 Hz, justo el doble, ¡perfecto! Las frecuencias (empezando por el do) en la escala temperada quedan tal que así:

Cuando dicen que las matemáticas están en todas partes, es que de verdad están en todas partes…

 

Bach

Esta imagen no tiene ninguna razón de ser para ponerla aquí, simplemente me mola como le quedan las gafas de Sol a Bach

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8 respuestas a Dando la nota: ¿qué son y de dónde han salido?

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  2. Pingback: Cuando la serie armónica llama al timbre, por Marta Michelena | Scire Science

  3. Miguel dijo:

    Hola. Si me permites, una pequeña observación.
    Temperar significa variar ligeramente la afinación de algunos intervalos para conseguir determinadas ventajas armónicas. En el artículo hablas de la “escala temperada” al describir el temperamento que divide la escala en doce semitonos iguales (denominado en concreto “temperamento igual”), pero éste no es el único sino que existen otros sistemas temperados (Kirnberger, Werckmeister) que permiten tocar en todas las tonalidades (aunque con diferencias entre cada una de ellas). El caso es que no se sabe con seguridad cuál de estos sistemas temperados era el utilizado por Bach. La denominación “bien temperado” que incluye Bach en el título de sus dos colecciones de preludios y fugas no quiere decir necesariamente que se trate del temperamento igual.(http://dl.dropboxusercontent.com/u/17831110/Grove/Entries/S30099.htm#S30099)

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  4. Siempre han dicho que la música tiene mucha relación con las matemáticas, pero nunca había indagado ello. Gracias por acercárnoslas. Un saludo.

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  5. Alba dijo:

    Me he enamorado de esta entrada. Maravillosa, estupenda, escepciónal, bravo.

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