¿Qué tienen en común Arquímedes, Canadá y Google? Sobre números grandes.

¿Cuantos granos de arena dices que hay en el planeta Tierra? ¿Y si tuviéramos que llenar el Sistema Solar de arena?

Eso se preguntó Arquímedes en su libro El Arenario, todo con el objetivo de “demostrar” que este número no es infinito (aunque sea bastante grande…). En aquel entonces (Arquímedes vivió entre el 287-212 de nuestra era) podía expresar números hasta lo que se llamaba miríada, esto es, 10 000. Quizás esto nos choque, acostumbrados a que en el sistema occidental los puntitos, se pongan de 3 en 3, pero en algunos lugares de asía, por ejemplo, 10 000 es 1 0000, una miríada (en japonés por ejemplo, se pronuncia “man”) y asi, 100 000 para nosotros sería cien mil, pero para ellos sería 10 0000, diez miríadas.

Así, tal y como podemos leer en el Monográfico nº 23 de la revista Investigación y Ciencia:

Nuestro sistema de numeración moderno para los números grandes se funda en el propuesto por Nicolas Chuquet en 1484, que utilizaba el nuevo símbolo illón. Así, M=10^6 es un millón, M^2 es un billón, M^3 es un trillón y así sucesivamente: un n-illón es M^n, y el número simple más grande de esta forma es un millón-illón, es decir, M^M

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Vale, hay muchos, pero no son ni de lejos una miríada de miríadas…

Pero seguro que alguna vez habéis oído lo de que no es lo mismo un billón aquí, que un billón en América, y así es, puesto que utilizamos escalas numéricas de distinta longitud.

Muy burdamente podríamos decir que los países de habla inglesa utilizan la escala numérica corta y otros países como España utilizamos la escala numérica larga. Para entender cada una, podemos pensar en bases.

Así, la base de la e.n. corta es mil = 1\ 000 = 10^3. Así, un millón es mil veces mil, 10^6 = 1\ 000\ 000, un billón es mil veces un millón, 10^9=1\ 000\ 000\ 000, un trillón serían mil veces un billón 10^{12}= 1\ 000\ 000\ 000\ 000… y os podéis imaginar como sigue. De esta manera, cada orden siguiente tiene tres ceros más que el anterior. Esto se utiliza en países como EEUU, Canadá, Reino Unido, Sudáfrica… pero aquí la cosa no va así.

En la e.n. larga, la base sería el millón directamente, 10^6 = 1\ 000\ 000. Un billón sería un millón de millones, 10^{12} = 1\ 000\ 000\ 000\ 000, un trillón es un millón de billones, 10^{18} = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000 00 (creo que no me he pasado de ceros). Lo que en la otra escala numérica era un billón (10^9) aquí son mil millones. Así, se pasa de un orden a otro de seis ceros en seis ceros. Podemos ver esta escala en países como España, Colombia, Alemania… o la parte francoparlante de Canadá.

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Comparación de la e.n. larga y la corta. Cuidadín en que escala pedís el sueldo…

Algunos números especialmente grandes tienen nombre propio, así pasa con el googol, 10^{100}, (Google tiene este nombre por un error, ya que la idea era que se llamara “Googol”…) , el googolplex, 10^{10^{100}}, es decir, un $1$ seguido de un googol de ceros y el googolduplex, un número seguido de un googoloplex de ceros, lo que en notación científica sería 10^{10^{10^{100}}} (cágate lorito). Pero el número más grande utilizado en una demostración matemática (que yo sepa) es el número de Graham, que no lo voy a explicar porque tendría que introducir una notación, y la entrada se volvería más pesada… (en gaussianos o páginas similares tenéis información). Este número se utilizo como cota (como un “número tope”) en un problema relacionado con grafos y cubos n-dimensionales.

Para reflexionar:

¿Y si para acabar te digo que se estima que el número de átomos en el universo es de entre 10^{72} y 10^{87}? “Ni siquiera llega a un googol…

Vale, quizás esta foto no está a escala real...

Vale, quizás esta foto no está a escala real…

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2 respuestas a ¿Qué tienen en común Arquímedes, Canadá y Google? Sobre números grandes.

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