Cuando las letras se meten en las matemáticas… hasta en la magia. El forzaje del 1089.

TERCERA LEY DE CLARKE: «Cualquier tecnología lo suficientemente avanzada es indistinguible de la magia.»

Vale, de lo que os voy a hablar no es tecnología, es algo un poco más abstracto… matemáticas. Concretamente, matemática disfrazada de magia. Este tipo de trucos suele tirar mano de operaciones algebraicas (del tipo “piensa un numero, ahora restáselo…¿a que da 0?) solo que algunos son un poco más elaborados. Hoy, en Los engaños de la mente de Susana Martínez-Conde y Stephen L. Macknik he podido leer uno de estos trucos, muy curioso, llamado “el forzaje del 1089”.

Piensa en un número de tres cifras, en la que la primera cifra diste de la tercera en 2 o más unidades. Ahora dale la vuelta, por ejemplo, si has elegido el 481, ahora tendrás el 184. Réstale el menor al mayor. Ahora vuelve a darle la vuelta a este nuevo número. Por ejemplo, 481-184=297, ahora tendrás 792. Y ahora suma los dos, en nuestro ejemplo 297+792=1089. Te puedo asegurar que si lo has hecho bien, a ti te dará lo mismo.

¿Pero por qué pasa esto? ¿Qué clase de dios matemático chiflado está detrás de esto? Os voy a demostrar por qué pasa esto. Sí, demostrar, para todos los números. ¿Pero cómo, comprobando tooooodos? Podría (por suerte los números de tres cifras cuya primera cifra dista más de la tercera en dos unidades son finitos) pero vamos a pillar un atajo. Mejor lo vemos:

Como el número tiene 3 cifras, llamaremos a estas cifras a,bc, respectivamente. Así la primera operación será:

Imagen

Veamos paso a paso cuanto va a dar esta resta. Para que el número abc sea mayor que cbaa debe ser mayor que c (872 es mayor que 278 porque 8 es mayor que 2). Así, para empezar la resta debemos realizar c – a. ¿Cómo restas 2 – 8? “De ocho a doce cuatro, y me llevo una”. Es decir, le sumas 10 al menor, y a ese número le restas el mayor. Luego c – a = (10 + c) – (a). Como nos hemos llevado una, es fácil ver que en la segunda cifra obtendremos 9, puesto que estamos restándole a un número su siguiente. ¿Y que pasa con la resta de las primeras cifras, a – c? Como nos hemos llevado 1, tendremos a – (c + 1). Si os fijáis, este número siempre va a ser positivo, porque a siempre va a ser mayor que c + 1, ya que si no lo fuera a – c sería menor que uno, pero habíamos dicho que la distancia entre estas dos cifras fuera dos o más (¡Ah amigo! ¡Así que por esto era esa condición tan extraña!).

Total:

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La siguiente operación, darle la vuelta a ese bicharraco y sumarlo quedaría:

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Vale, no nos asustemos… Si recordáis esas matemáticas del colegio, os acordaréis de que cuando un signo negativo está delante de un paréntesis cambia de signo todo lo de dentro. Luego a – (c + 1) = a– 1. Finalmente, si os fijáis –a+a=0 y cc=0…. entonces…

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¿Y que nos queda después de esta matanza? En la última cifra, 10+(-1)= 9; en la segunda cifra 9+9=8, y llevamos una; y en la primera cifra -1+10+1=10… ¿qué número es ese? ¡Sí! 1089. Y si t’has catao, la demostración la hemos hecho con un número cualquiera, abc, es decir, lo hemos probado para todo número de tres cifras cuya primera cifra diste de la tercera en más de dos unidades.

Pues ya está, ya tienes un nuevo truco de matemagia que enseñarles a tus conocidos… y te aseguro que este nunca te va a fallar (siempre que la otra persona haga los cálculos bien).

Pd: Si he ido muy lento en la demostración, lo siento, pero este post también esta pensado para gente que no está acostumbrada a las demostraciones. Si por lo contrario hay algún paso que no acabes de entender o que no veas, no dudes en dejar un comentario o preguntarlo por Twitter.

Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

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Aquí os explico un poco más sobre mí... https://scirescience.wordpress.com/2014/05/31/sobre-el-autor/ Pd: para "navegar" entre entradas, a la derecha en el principio de la página tenéis las distintas categorías.
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